Numerical methods for least squares problems with application to data assimilation
Méthodes numériques pour les problèmes des moindres carrés, avec application à l'assimilation de données
Bergou, El houcine
L'algorithme de Levenberg-Marquardt (LM) est parmi les algorithmes les plus populaire pour la résolution des problèmes des moindres carrés non linéaire. Motivés par la structure des problèmes de l'assimilation de données, nous considérons dans cette thèse l'extension de l'algorithme LM aux situations dans lesquelles le sous problème linéarisé, qui a la forme min (x Rn) ||Ax?b||2, est résolu de façon approximative, et/ou les données sont bruitées et précises qu'avec une certaine probabilité. Sous des hypothèses appropriées, on montre que le nouvel algorithme converge presque sûrement vers un point stationnaire du premier ordre. Notre approche est appliquée à une instance dans l'assimilation de données variationnelles où les modèles aléatoires du gradient sont calculés par le lisseur de Kalman d'ensemble (EnKS). On montre la convergence dans Lp de l'EnKS vers le lisseur de Kalman, quand le nombre d'ensemble tend vers l'infini. On montre aussi la convergence de l'approche LM-EnKS, qui est une variante de l'algorithme de LM avec l'EnKS comme solveur linéaire, vers l'algorithme classique de LM où le sous problème est résolu de façon exacte. La sensibilité de la méthode de décomposition en valeurs singulières tronquée est étudiée. Nous formulons une expression explicite pour le conditionnement de la solution des moindres carrés tronqués. Cette expression est donnée en termes de valeurs singulières de A et les coefficients de Fourier de b.
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